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高考数学辅导:求空间图形中的角

[11-11 12:01:09]   来源:http://www.duoxue8.com  数学学习方法   阅读:494
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求空间图形中的角
求空间图形中的角
求空间图形中的角
求空间图形中的角

  空间图形中的角,包括异面直线所成角、直线与平面所成角和二面角。这些角的计算,是高考中的一项主要的考核内容。做这类题目,应根据定义找出或作出所求的角。并根据题目的要求,计算一些线段的长度,然后通过解三角形等方法求值。在解题时要注意“作、证、算”的有机统一,还要注意各种角的范围,运用恰当的方法求出它们的大小。当然也可借助空间向量求这些角的大小。

  例:在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中,E、F分别是BC、A′D′的中点,

  (1)求直线A′C与DE所成的角;

  (2)求直线AD与平面B′EDF所成的角;

  (3)求平面B′EDF与平面ABCD所成的锐二面角

  解法一:

  (1)解 如图所示,在平面ABCD内,过C作CP∥DE,交直线AD于P,则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角

  在△A′CP中,易得A′C=-a,CP=DE=-a, A′P=-a

  由余弦定理得cos(∠A′CP)=- 故A′C与DE所成角为arccos-

  点评:异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°,求解的方法主要是平移法和补形法。

  (2)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上(如图)又可证明四边形B′EDF为菱形(证明略),∴DB′为∠EDF的平分线,

  故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′,

  在Rt△B′AD中,AD=-a,AB′=-a,B′D=-a,

  则cosADB′=-,故AD与平面B′EDF所成的角是arccos-

  点评:直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°,求解的关键是找直线在平面上的射影。

  (3)解 如图,连结EF、B′D,交于O点,显然O为B′D的中点,从而O为正方形ABCD-A′B′C′D的中心,作OH⊥平面ABCD,则H为正方形ABCD的中心,再作HM⊥DE,垂足为M,连结OM,则OM⊥DE,故∠OMH为二面角B′-DE′-A的平面角

  在Rt△DOE中,OE=-a,OD=-a,斜边DE=-a,

  则由面积关系得OM=-=-a,在Rt△OHM中,sinOMH=-=-,故平面B′EDF与平面ABCD所成的锐二面角为arcsin-

  点评:二面角的范围是0°≤θ≤180°,求解的方法主要是定义法、运用三垂线定理及其逆定理和垂面法

  解法二(向量法)

  (1) 如图建立坐标系,则A′(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a,-,0)→-=(a,a,-a),-=(a,--,0)→cos<-,->=-=- 故A′C与DE所成角为arccos-

  (2)∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上,如下图所示,又∵B′EDF为菱形,∴DB′为∠EDF的平分线,

  故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′,如图建立坐标系,则A(0,0,0),B′(a,0,a),D(0,a,0)→-=(0,-a,0),-=(a,-a,a)→cos<-,->=-=-,故AD与平面B′EDF所成的角是arccos-

  (3) 由(1)知A(0,0,0),A′(0,0,a),B′(a,0,a),D(0,a,0),E(a,-,0)

  所以面ABCD的法向量为-=-=(0,0,a)下面求面B′EDF的法向量-

  设-=(1,y,z),由-=(-a,-,0),-=(0,--,a),-⊥--⊥-→-ax+-y=0--y+az=0 不妨取z=1,得-=(1,2,1) ∴cos<-,->=-=-

  故平面B′EDF与平面ABCD所成的锐二面角为arccos-

  点评:建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量,以代数的方法求空间的一些角的大小,可以使求解过程变得简洁、明了。


高考数学辅导:求空间图形中的角 结束。
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