高考数学辅导：求空间图形中的角

求空间图形中的角
求空间图形中的角
求空间图形中的角
求空间图形中的角

　　空间图形中的角，包括异面直线所成角、直线与平面所成角和二面角。这些角的计算，是高考中的一项主要的考核内容。做这类题目，应根据定义找出或作出所求的角。并根据题目的要求，计算一些线段的长度，然后通过解三角形等方法求值。在解题时要注意“作、证、算”的有机统一，还要注意各种角的范围，运用恰当的方法求出它们的大小。当然也可借助空间向量求这些角的大小。

　　例：在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点，

　　(1)求直线A′C与DE所成的角；

　　(2)求直线AD与平面B′EDF所成的角；

　　(3)求平面B′EDF与平面ABCD所成的锐二面角

　　解法一：

　　(1)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角

　　在△A′CP中，易得A′C=-a，CP=DE=-a, A′P=-a

　　由余弦定理得cos(∠A′CP)=- 故A′C与DE所成角为arccos-

　　点评：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，求解的方法主要是平移法和补形法。

　　(2)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上(如图)又可证明四边形B′EDF为菱形(证明略)，∴DB′为∠EDF的平分线，

　　故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′，

　　在Rt△B′AD中，AD=-a，AB′=-a,B′D=-a，

　　则cosADB′=-，故AD与平面B′EDF所成的角是arccos-

　　点评：直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，求解的关键是找直线在平面上的射影。

　　(3)解 如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD-A′B′C′D的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE，故∠OMH为二面角B′-DE′-A的平面角

　　在Rt△DOE中，OE=-a,OD=-a,斜边DE=-a,

　　则由面积关系得OM=-=-a，在Rt△OHM中，sinOMH=-=-，故平面B′EDF与平面ABCD所成的锐二面角为arcsin-

　　点评：二面角的范围是0°≤θ≤180°，求解的方法主要是定义法、运用三垂线定理及其逆定理和垂面法

　　解法二(向量法)

　　(1) 如图建立坐标系，则A′(0,0，a)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，E(a,-,0)→-＝(a,a,-a)，-＝(a,--,0)→cos＜-，-＞＝-=- 故A′C与DE所成角为arccos-

　　(2)∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上，如下图所示，又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，

　　故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′，如图建立坐标系，则A(0,0,0)，B′(a,0,a)，D(0,a,0)→-＝(0,-a,0)，-＝(a,-a,a)→cos＜-，-＞＝-＝-，故AD与平面B′EDF所成的角是arccos-

　　(3) 由(1)知A(0,0,0)，A′(0,0，a)，B′(a,0,a)，D(0,a,0)，E(a,-,0)

　　所以面ABCD的法向量为-＝-=(0,0，a)下面求面B′EDF的法向量-

　　设-=(1,y,z)，由-＝(-a，-，0)，-＝(0，--，a)，-⊥--⊥-→-ax+-y=0--y+az=0 不妨取z=1，得-=(1,2，1) ∴cos＜-，-＞=-＝-

　　故平面B′EDF与平面ABCD所成的锐二面角为arccos-

　　点评：建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量，以代数的方法求空间的一些角的大小，可以使求解过程变得简洁、明了。