小学四年级奥数专题（十七）数阵图（2）

例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

　　解：由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各 数（含x）。

　　因为九个数都不大于12，由16－x≤12知 4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个 数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。

　　例2将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有

　　证明：设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为 2d-c（见下图）。

　　根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到

　　3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c），

　　3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c，

　　d——c＋b＝d——a＋c，

　　2c＝a＋b，

　　a＋b

　　c＝2。

　　值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。

　　例3在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。

　　解：由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下 图）。

　　例4在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。

　　解：由例2知，右下角的数为

　　（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图），且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。 由此可得右下图的填法。

　　例5在下页上图的每个空格中填一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

　　解：由例2知，右下角的数为（6＋12）÷2=9（左下图）。因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等，所以，

　　“中心数”＝（10＋6）-9＝7。

　　其它依次可填（见右下图）。

　　由例3～5看出，在解答3×3方阵的问题时，上讲的例4与本讲的例2很有用处。

　　练习17

　　1.在左下图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

　　2.在右上图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24。

　　3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，求x。

　　4.在左下图的空格中填入七个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48。

　　5.在右上图的每个空格中填入一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

　　6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

，小学数学