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小学五年级奥数专题十:质数与合数

[11-11 12:13:51]   来源:http://www.duoxue8.com  小学五年级数学试卷   阅读:284
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 自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类:

  第一类:只能被一个自然数整除的自然数,这类数只有一个,就是1。

  第二类:只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被1和它本身整除,所以这类自然数的特征是大于1,且只能被1和它本身整除。这类自然数叫质数(或素数)。例如,2,3,5,7,…

  第三类:能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于1,除了能被1和它本身整除外,还能被其它一些自然数整除。这类自然数叫合数。例如,4,6,8,9,15,…

  上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1,1既不是质数也不是合数。

    例1 1~100这100个自然数中有哪些是质数?

    分析与解:先把前100个自然数写出来,得下表:

  

  1既不是质数也不是合数。

  2是质数,留下来,后面凡能被2整除的数都是合数,都划去;

  3是质数,留下来,后面凡能被3整除的数都是合数,都划去;

  类似地,把5留下来,后面凡是5的倍数的数都划去;

  把7留下来,后面凡是7的倍数的数都划去。

  经过以上的筛选,划去的都是合数,余下26个数,除1外,剩下的25个都是质数。这样,我们便得到了100以内的质数表:

  2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,

  43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。

  这些质数同学们应当熟记!

  细心的同学可能会注意到,以上只划到7的倍数,为什么不继续划去11,13,…的倍数呢?事实上,这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如,100以内11的倍数应该是

  11×A≤100(其中A为整数),

  

  显然,A只能取2,3,4,5,6,7,8,9。因为4=22,6=2×3,8=23,9=32,所以A必是2,3,5,7之一的倍数。由此推知,11的倍数已全部包含在2,3,5,7的倍数中,已在前面划去了。

  要判断一个数N是质数还是合数,根据合数的定义,只要用从小到大的自然数 2,3,4,5,6,7,8,…,N-1去除N,其中只要有一个自然数能整除N,N就是合数,否则就是质数。但这样太麻烦,因为除数太多。能不能使试除的 数少一点呢?由例1知,只要用从小到大的质数去除N就可以了。例2给出的判别方法,可以使试除的数进一步减少。

   例2 判断269,437两个数是合数还是质数。

    分析与解:对于一个不太大的数N,要判断它是质数还是合数,可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K2,再写出K以内的所有质数。如果这些质数都不能整除N,那么N是质数;如果这些质数中有一个能整除N,那么N是合数。

  因为269<172=289。17以内质数有2,3,5,7,11,13。根据能被某些数整除的数的特征,个位数是9,所以269不能被2,5整除;2+6+9=17,所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知,这6个质数都不能整除269,所以269是质数。

  因为437<212=441。21以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。容易判断437不能被2,3,5,7,11整除,用13,17,19试除437,得到437÷19=23,所以437是合数。

  对比一下几种判别质数与合数的方法,可以看出例2的方法的优越性。判别269,用2~268中所有的数试除,要除267个数;用2~268中的质数试除,要除41个数;而用例2的方法,只要除6个数。


小学五年级奥数专题十:质数与合数 结束。

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