小学五年级奥数专题十一:分解质因数

自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。

　　例如，60=2²×3×5， 1998=2×3³×37。

　　　　例1 一个正方体的体积是13824厘米³，它的表面积是多少？

　　　　分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米³，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。为此，我们先将13824分解质因数：

　　把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（2³×3）×（2³×3）×（2³×3），

　　于是，得到棱长是2³×3=24（厘米）。所求表面积是24×24×6=3456（厘米²）。

　　　　例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？

　　　　分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。

　　从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。

　　2×5×11=110，13；

　　2×5×13=130，11；

　　11×13=143，2×5=10。

　　所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。

　　　　例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？

　　　　分析与解：首先将90909分解质因数，得 90909=3³×7×13×37。

　　因为3³（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×…×40能被90909整除。

　　　　例4 求72有多少个不同的约数。

：将72分解质因数得到72=2

×3

。根据72的约数含有2和3的个数，可将72的约数列表如下：

　　上表中，第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以3和3²，第三、四、五列的数字分别是第二列对应数字乘以2，2²和2³。对比72=2³×3²，72的任何一个约数至多有两个不同质因数：2和3。因为72有3个质因数2，所以在某一个约数的质因数中，2可能不出现或出现1次、出现2次、出现3次，这就有4种情况；同理，因为72有两个质因数3，所以3可能不出现或出现1次、出现2次，共有3种情况。

　　根据乘法原理，72的不同约数共有4×3=12（个）。

　　从例4可以归纳出求自然数N的所有不同约数的个数的方法：一个大于1的自然数N的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。

　　例如，2352=2⁴×3×7²，因为2352的质因数分解式中有4个2，1个3，2个7，所以2352的不同约数有

　　（4+1）×（1+1）×（2+1）=30（个）；

　　又如，9450=2×3³×52×7，所以9450的不同的约数有

　　（1+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1）=48（个）。

小学五年级奥数专题十一:分解质因数 结束。