小学五年级奥数专题七:奇偶性(1)
[11-11 12:13:51] 来源:http://www.duoxue8.com 小学五年级数学试卷 阅读:949次整数按照能不能被2整除,可以分为两类:
(1)能被2整除的自然数叫偶数,例如
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,…
(2)不能被2整除的自然数叫奇数,例如
1,3,5,7,9,11,13,15,17,…
整数由小到大排列,奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1,所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被2整除,所以偶数可以表示为2n的形式,其中n为整数;因为奇数不能被2整除,所以奇数可以表示为2n+1的形式,其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数,这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质:
(1)两个奇偶性相同的数的和(或差)一定是偶数;两个奇偶性不同的数的和(或差)一定是奇数。反过来,两个数的和(或差)是偶数,这两个数奇偶性相同;两个数的和(或差)是奇数,这两个数肯定是一奇一偶。
(2)奇数个奇数的和(或差)是奇数;偶数个奇数的和(或差)是偶数。任意多个偶数的和(或差)是偶数。
(3)两个奇数的乘积是奇数,一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
(4)若干个数相乘,如果其中有一个因数是偶数,那么积必是偶数;如果所有因数都是奇数,那么积就是奇数。反过来,如果若干个数的积是偶数,那么因数中至少有一个是偶数;如果若干个数的积是奇数,那么所有的因数都是奇数。
(5)在能整除的情况下,偶数除以奇数得偶数;偶数除以偶数可能得偶数,也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。
(6)偶数的平方能被4整除;奇数的平方除以4的余数是1。
因为(2n)2=4n2=4×n2,所以(2n)2能被4整除;
因为(2n+1)2=4n2+4n+1=4×(n2+n)+1,所以(2n+1)2除以4余1。
(7)相邻两个自然数的乘积必是偶数,其和必是奇数。
(8)如果一个整数有奇数个约数(包括1和这个数本身),那么这个数一定是平方数;如果一个整数有偶数个约数,那么这个数一定不是平方数。
整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有,例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等,但只要想办法编上号码,成为整数问题,便可利用整数的奇偶性加以解决。
例1下式的和是奇数还是偶数?
1+2+3+4+…+1997+1998。
分析与解:本题当然可以先求出算式的和,再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算,直接分析判断出和的奇偶性,那么解法将更 加简洁。根据奇偶数的性质(2),和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关,与加数中的偶数无关。1~1998中共有999个奇数,999是奇数,奇数个奇数 之和是奇数。所以,本题要求的和是奇数。
例2 能否在下式的□中填上“+”或“-”,使得等式成立?
1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。
分析与解:等号左端共有9个数参加加、减运算,其中有5个奇数,4个偶数。5个奇数的和或差仍是奇数,4个偶数的和或差仍是偶数,因为“奇数+偶数=奇数”,所以题目的要求做不到。
例3 任意给出一个五位数,将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变,得到一个新的五位数。那么,这两个五位数的和能不能等于99999?
分析与解:假设这两个五位数的和等于99999,则有下式:
其中组成两个加数的5个数码完全相同。因为两个个位数相加,和不会大于 9+9=18,竖式中和的个位数是9,所以个位相加没有向上进位,即两个个位数之和等于9。同理,十位、百位、千位、万位数字的和也都等于9。所以组成两 个加数的10个数码之和等于 9+9+9+9+9=45,是奇数。
另一方面,因为组成两个加数的5个数码完全相同,所以组成两个加数的10个数码之和,等于组成第一个加数的5个数码之和的2倍,是偶数。
奇数≠偶数,矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999,所以假设不成立,即这两个数的和不能等于99999。
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